48. 旋转图像#

生活中的旋转#

在这个自拍时代，我们经常需要调整照片的方向。有时拍出来的照片歪了，需要旋转90度；有时想要换个角度看看效果，来回旋转照片。这种旋转操作不仅存在于我们的日常生活中，在计算机图形学、图像处理等领域也是一个基础且重要的操作。

问题描述#

题目目标#

LeetCode第48题”旋转图像”要求我们：给定一个 n × n 的二维矩阵 matrix 表示一个图像，将图像顺时针旋转 90 度。要求必须在原地旋转图像，也就是说，你需要直接修改输入的二维矩阵。

示例 1#

输入：

matrix = [[1,2,3],
                [4,5,6],
                [7,8,9]]

text

输出：

[[7,4,1],
       [8,5,2],
       [9,6,3]]

就像我们在手机相册里旋转照片一样，每个像素点都要移动到新的位置，但我们需要保证不使用额外的存储空间！

text

矩阵示意：

1 2 3
4 5 6
7 8 9

text

说明： 图示把输入结构和输出结果并排展开后，会更容易直接看清题目的变化过程。

补充说明#

矩阵按行给出，外层数组表示所有行，内层数组表示每一行的元素。

最直观的解法：辅助数组#

最简单的想法就像我们复印一张照片，在新的纸上重新排列像素。虽然这种方法使用了额外空间，不符合题目要求，但它帮助我们理解旋转的本质。

辅助数组的实现#

public void rotate(int[][] matrix) {
    // n 表示矩阵的行数/列数（题目保证是 n x n 的方阵）
    int n = matrix.length;
    // temp 是辅助数组，用于存放旋转后的结果（该解法空间复杂度为 O(n^2)）
    int[][] temp = new int[n][n];

    // 遍历原矩阵中的每个位置 (i, j)
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            // 关键映射关系：
            // 原位置 (i, j) 在顺时针旋转 90° 后，移动到 (j, n - 1 - i)
            temp[j][n-1-i] = matrix[i][j];
        }
    }

    // 再次遍历，把辅助数组中的结果拷贝回原矩阵（满足函数“就地修改入参”的接口要求）
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            // 用旋转后的值覆盖原位置
            matrix[i][j] = temp[i][j];
        }
    }
}

java

优化解法：原地旋转#

仔细观察，我们发现90度旋转可以通过两步简单的操作完成：先沿对角线翻转，再沿竖直中线翻转。就像折纸一样，通过两次折叠就能达到旋转的效果！

原地旋转的原理#

想象你在玩魔方：

第一步：沿主对角线翻转（左上到右下的对角线）
- [i,j] 变成 [j,i]
第二步：沿竖直中线翻转
- [i,j] 变成 [i,n-1-j]

示例运行#

用3×3矩阵来说明：

原始矩阵：    对角线翻转：    竖直中线翻转：
1 2 3         1 4 7          7 4 1
4 5 6   →     2 5 8    →     8 5 2
7 8 9         3 6 9          9 6 3

第一步：对角线翻转
- (1,2)和(2,1)交换
- (1,3)和(3,1)交换
- (2,3)和(3,2)交换

第二步：竖直中线翻转
- 第1列和第3列交换
- 第2列保持不变

plaintext

Java代码实现#

public void rotate(int[][] matrix) {
    // n 表示方阵边长
    int n = matrix.length;

    // 步骤1：先做“转置”（沿主对角线翻转）
    // 把 matrix[i][j] 与 matrix[j][i] 交换
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // j 从 i 开始，避免重复交换（例如 (1,2) 与 (2,1) 只交换一次）
        for (int j = i; j < n; j++) {
            // temp 临时保存一个值，防止交换时数据丢失
            int temp = matrix[i][j];
            // 把对称位置的值放到当前位置
            matrix[i][j] = matrix[j][i];
            // 把暂存值放回对称位置，完成一次交换
            matrix[j][i] = temp;
        }
    }

    // 步骤2：再做“左右翻转”（沿竖直中线翻转）
    // 每一行中，第 j 列与第 (n - 1 - j) 列交换
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // 只需要遍历一半列；另一半会在交换中同步完成
        for (int j = 0; j < n/2; j++) {
            // temp 临时保存左侧值
            int temp = matrix[i][j];
            // 右侧值移到左侧
            matrix[i][j] = matrix[i][n-1-j];
            // 左侧原值移到右侧，完成对称交换
            matrix[i][n-1-j] = temp;
        }
    }
}

java

解法比较#

让我们比较这两种方法：

辅助数组法：

时间复杂度：O(n²)
空间复杂度：O(n²)
优点：直观易懂，容易实现
缺点：需要额外空间，不满足原地旋转的要求

原地旋转法：

时间复杂度：O(n²)
空间复杂度：O(1)
优点：不需要额外空间，完美满足题目要求
缺点：需要理解矩阵变换的数学原理

实用技巧总结#

解决矩阵旋转问题的关键点：

观察旋转前后元素位置的对应关系
寻找可以分解的子操作（如翻转）
正确处理边界情况
小心不要重复交换元素

小结#

通过旋转图像这道题，我们学会了如何通过巧妙的数学变换来完成矩阵旋转。这种思维方式不仅能解决算法题，在图像处理、计算机图形学等领域都有广泛应用。记住，当遇到需要变换矩阵的问题时，可以考虑将复杂的变换分解为简单的操作组合，这样往往能得到更优雅的解决方案！